LIII OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $ n \geq 3 $ i dla każdego ciągu liczb dodatnich $ x_1,x_2,\ldots,x_n $ zachodzi co najmniej jedna z nierówności

\[<br />
\sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}}{x_{i+1}+x_{i+2}}\geq\frac{n}{2},\  \sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}}{x_{i-1}+x_{i-2}}\geq\frac{n}{2}<br />
\]

(przyjmujemy $ x_{n+1}=x_{1},\ x_{n+2}=x_{2} $ oraz $ x_{0}=x_{n},\ x_{-1}=x_{n-1} $).

Rozwiązanie

Gdyby żadna z podanych nierówności nie zachodziła, to po dodaniu stronami mielibyśmy $ \displaystyle \sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i-1}+x_{i+2}}{x_{i}+x_{i+1}}<n $. Wystarczy zatem udowodnić, że

\[<br />
\sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i-1}+x_{i+2}}{x_{i}+x_{i+1}}\geq n,\ \textrm{albo, że},\ \sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i-1}+x_{i}+x_{i+1}+x_{i+2}}{x_{i}+x_{i+1}}\geq 2n.<br />
\]

Po podstawieniu $ a_{i}=\displaystyle \frac{x_{i-1}+x_{i}}{x_{i}+x_{i+1}} $ ostatnia nierówność przybiera postać

\[<br />
\sum_{i=1}^{n}a_{i}+\frac{1}{a_{i+1}}\geq 2n,\ \textrm{czyli}\ \sum_{i=1}^{n}a_{i}+\frac{1}{a_{i}}\geq 2n,<br />
\]

a to jest prawda, gdyż $ a + \frac{1}{a} \geq 2 $ dla dowolnej liczby dodatniej $ a $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź