LIII OM - III - Zadanie 5

W przestrzeni dany jest trójkąt $ ABC $ oraz sfera $ s $ rozłączna z płaszczyzną $ ABC $. Przez każdy z punktów $ A $, $ B $, $ C $ poprowadzono prostą styczną do tej sfery. Punkty styczności oznaczono odpowiednio $ K $, $ L $, $ M $. Punkt $ P $ leży na sferze $ s $ i spełnia warunki

\[<br />
\frac{AK}{AP}=\frac{BL}{BP}=\frac{CM}{CP}.<br />
\]

Udowodnić, że sfera opisana na czworościanie $ ABCP $ jest styczna do sfery $ s $.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $ \lambda $ wspólną wartość danych w treści zadania ułamków. Niech $ A' $, $ B' $, $ C' $ będą odpowiednio drugimi punktami przecięcia prostych $ PA $, $ PB $, $ PC $ ze sferą $ s $ (rys. 2 i 3). Jeśli któraś z tych prostych, powiedzmy $ PA $, jest styczna do sfery $ s $, to przyjmujemy $ A' = P $. Wówczas $ AK^2 = AP\cdot AA' $, a więc

\[<br />
(1)\qquad \frac{AA'}{AP}=\left(\frac{AK}{AP}\right)^{2}=\lambda^{2}.\ \textrm{Zatem} \ \frac{AA'}{AP}=\frac{BB'}{BP}=\frac{CC'}{CP}=\lambda^{2}.<br />
\]

Stąd wynika, że jednokładność $ j $ o środku $ P $ przekształcająca punkt $ A $ na $ A' $, przeprowadza punkt $ B $ na $ B' $ oraz punkt $ C $ na $ C' $. Ponadto każdy z punktów $ A' $, $ B' $, $ C' $ jest różny od $ P $ - w przeciwnym razie równości (1) implikują, że proste $ PA $, $ PB $, $ PC $ są styczne do sfery $ s $ w punkcie $ P $, a więc $ P $ jest punktem wspólnym płaszczyzny $ ABC $ i sfery $ s $, co przeczy założeniom.

om53_3r_img_2.jpg

Sfera opisana na czworościanie $ ABCP $ jest zatem obrazem sfery $ s $ przy jednokładności $ j^{-1} $, której środek (punkt $ P $) leży na sferze $ s $. Stąd teza.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź