LII OM - I - Zadanie 1

Rozwiązać w liczbach całkowitych równanie

\[<br />
x^{2000} + 2000^{1999} = x^{1999} + 2000^{2000}.<br />
\]

Rozwiązanie

Dane równanie sprowadzamy do postaci $ f (x) = f (2000) $, gdzie

\[<br />
f (x)=x^{2000} - x^{1999} = (x - 1)x^{1999}.<br />
\]

Ponieważ $ f $ jest funkcją rosnącą na przedziale $ \langle 1,\infty ) $, więc dane równanie ma w tym przedziale tylko jedno rozwiązanie, którym jest $ x = 2000 $. Na zbiorze $ (-\infty,0\rangle $ funkcja $ f $ jest malejąca, więc istnieje co najwyżej jedna liczba całkowita ujemna $ a $, dla której $ f (a) = f (2000) $. Jednakże

\[<br />
f (-1999) = 2000 \cdot 1999^{1999} < 1999 \cdot 2000^{1999} = f (2000) = f (a)<br />
\]

oraz

\[<br />
f (-2000) = 2001 \cdot 2000^{1999} > 1999 \cdot 2000^{1999} = f (2000) = f (a).<br />
\]

Zatem $ a \in (-2000,-1999) $, co przeczy temu, że $ a $ jest liczbą całkowitą.

Odpowiedź: Dane równanie ma jedno rozwiązanie w liczbach całkowitych: $ x = 2000 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź