LII OM - I - Zadanie 2

Punkty $ D $ i $ E $ leżą odpowiednio na bokach $ BC $ i $ AC $ trójkąta $ ABC $. Odcinki $ AD $ i $ BE $ przecinają się w punkcie $ P $. Punkty $ K $ i $ L $ leżą odpowiednio na bokach $ BC $ i $ AC $, przy czym czworokąt $ CLPK $ jest równoległobokiem. Dowieść, że

\[<br />
\frac{AE}{EL}=\frac{BD}{DK}.<br />
\]

Rozwiązanie

Ponieważ $ KD \parallel LP $, $ DP \parallel PA $ oraz $ PK \parallel AL $, więc trójkąty $ KDP $ i $ LPA $ są podobne (rys. 1). Zatem

\[<br />
\frac{DK}{PL}=\frac{PK}{AL},\ \textrm{czyli}\ AL\cdot DK=PK \cdot PL.<br />
\]

Analogicznie, korzystając z podobieństwa trójkątów $ LEP $ i $ KPB $ dowodzimy, że $ BK \cdot EL = PL \cdot PK $. Na mocy dwóch ostatnich równości otrzymujemy

\[<br />
AL\cdot DK=BK \cdot EL,\ \textrm{czyli}\ \frac{AL}{EL}=\frac{BK}{DK}.<br />
\]

om52_1r_img_1.jpg

Stąd

\[<br />
\frac{AE+EL}{EL}=\frac{BD+DK}{DK},\ \text{a więc}\ \frac{AE}{EL}=\frac{BD}{DK}.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź