LII OM - I - Zadanie 3

Znaleźć wszystkie takie liczby naturalne $ n \geq 2 $, że nierówność

\[<br />
(1) \qquad x_1x_2+x_2x_3+\ldots+x_{n-1}x_{n}\leq\frac{n-1}{n}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{n}^{2})<br />
\]

zachodzi dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich $ x_1,x_2,\ldots,x_n $.

Rozwiązanie

Odpowiedź: Jedyną liczbą spełniającą warunki zadania jest $ n = 2 $.

Dla $ n = 2 $ dana nierówność przyjmuje postać

\[<br />
x_{1}x_{2}\leq\frac{1}{2}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}),\quad<br />
\textrm{co sprowadza się do}\quad 0\leq\frac{1}{2}(x_{1}-x_{2})^{2}.<br />
\]

Zatem liczba $ n = 2 $ spełnia warunki zadania.

Jeśli $ n \geq 3 $, to nierówność (1) nie jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich. Liczby

\[<br />
(2) \qquad x_1 = 3,\ x_2 = x_3 = \ldots = x_{n-1} = 4,\ x_n = 3<br />
\]

stanowią kontrprzykład. Istotnie: wstawiając powyższe wartości do nierówności (1) uzyskujemy

\[<br />
12+\underbrace{16+16+\ldots+16}_{n-3} +12\leq \frac{n-1}{n}(9+ \underbrace{16+16+\ldots+16}_{n-2} +9).<br />
\]

Przekształcając równoważnie powyższą nierówność otrzymujemy $ 3n \leq 7 $, co nie jest prawdą, gdy $ n \geq 3 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź