LII OM - I - Zadanie 5

Dowieść, że dla dowolnej liczby naturalnej $ n \geq 2 $ i dowolnej liczby pierwszej $ p $ liczba $ n^{p^p} + p^p $ jest złożona.

Rozwiązanie

Jeżeli $ p $ jest liczbą pierwszą nieparzystą, to na mocy tożsamości

\[<br />
(1) \qquad x^{p}+y^{p}=(x+y)(x^{p-1}-x^{p-2}y+x^{p-3}y^{2}-\ldots-xy^{p-2}+y^{p-1}),<br />
\]

w której kładziemy $ x = n^{p^{p-1}} $ i $ y = p $, liczba $ n^{p^p} + p^p $ jest złożona. (Dla powyższych wartości $ x $, $ y $ zachodzą nierówności $ x^p + y^p >x + y> 1 $, więc każdy z czynników stojących po prawej stronie wzoru (1) jest większy od 1).

Natomiast dla $ p = 2 $ otrzymujemy $ n^4 + 4 = (n^2 + 2n + 2)(n^2 - 2n + 2) $. Ponieważ $ n \geq 2 $, więc oba czynniki są większe od $ 1 $. Stąd wynika, że dla $ n \geq 2 $ liczba $ n^4 + 4 $ jest złożona.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź