LII OM - I - Zadanie 6

Liczby całkowite $ a $, $ b $, $ x $, $ y $ spełniają równanie

\[<br />
a+b\sqrt{2001}=(x+y\sqrt{2001})^{2000}<br />
\]

Udowodnić, że $ a \geq 44b $.

Rozwiązanie

Wykażemy najpierw, że zachodzi następująca równość:

\[<br />
(1) \qquad a-b\sqrt{2001}=(x-y\sqrt{2001})^{2000}.<br />
\]

Istotnie: ze wzoru dwumianowego Newtona otrzymujemy

\[<br />
(x+y\sqrt{2001})^{2000}=\sum_{k=0}^{2000}{{2000} \choose k} y^{k}2001^{k/2}x^{2000-k}=c+d\sqrt{2001},<br />
\]

gdzie liczby całkowite c, d są dane przez:

\[<br />
(2)\qquad c= \sum_{\ell=0}^{1000} {{2000} \choose {2\ell}} y^{2\ell}2001^{\ell}x^{2000-2\ell},\ d = \sum_{\ell=0}^{999} {{2000} \choose {2\ell+1}} y^{2\ell+1}2001^{\ell}x^{1999-2\ell}.<br />
\]

Korzystając z danej w treści zadania równości uzyskujemy

\[<br />
(a-c)+(b-d)\sqrt{2001}=0.<br />
\]

Z niewymierności liczby $ \sqrt{2001} $ wynika, że $ b = d $, co z kolei pociąga za sobą $ a = c $. Zatem na mocy związków (2) otrzymujemy

\[<br />
\begin{split}<br />
a-b\sqrt{2001}&=c-d\sqrt{2001}=\\<br />
&=\sum_{k=0}^{2000}{{2000} \choose k} (-y)^{k}2001^{k/2}x^{2000-k}=(x-y\sqrt{2001})^{2000},<br />
\end{split}<br />
\]

co dowodzi równości (1).

Z zależności (1) wynika, że $ a \geq b\sqrt{2001} $. Ponadto

\[<br />
2a=(x+y\sqrt{2001})^{2000}+(x-y\sqrt{2001})^{2000}\geq 0.<br />
\]

Jeżeli $ b< 0 $, to nierówność podana w tezie zadania jest spełniona, gdyż $ a \geq 0 $. Jeśli zaś $ b \geq 0 $, to

\[<br />
a\geq b\sqrt{2001}\geq 44b.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź