LII OM - I - Zadanie 9

Dowieść, że wśród dowolnych $ 12 $ kolejnych liczb całkowitych dodatnich istnieje liczba nie będąca sumą $ 10 $ czwartych potęg liczb całkowitych.

Rozwiązanie

Liczba będąca czwartą potęgą liczby całkowitej daje z dzielenia przez $ 16 $ resztę $ 0 $ lub $ 1 $. Istotnie: dla liczb parzystych postaci $ 2k $ mamy $ (2k)^4 = 16k^4 $, natomiast dla liczb nieparzystych 2k + 1 uzyskujemy

\[<br />
(2k+1)^{4}=16\left(k^{4}+2k^{3}+\frac{1}{2}k(3k+1)\right)+1.<br />
\]

(Liczba $ \frac{1}{2} k(3k+1) $ jest całkowita dla dowolnej liczby całkowitej $ k $).

Stąd wynika, że liczba, która jest sumą $ 10 $ czwartych potęg liczb całkowitych, daje z dzielenia przez $ 16 $ jedną z jedenastu reszt: $ 0,1,2,3,\ldots, 10 $. Wśród $ 12 $ kolejnych liczb całkowitych żadne dwie nie dają tej samej reszty z dzielenia przez $ 16 $. Zatem któraś z tych $ 12 $ liczb nie daje z dzielenia przez $ 16 $ reszty ze zbioru $ \{0,1,2,3,\ldots,10\} $. Ta liczba nie może być więc sumą $ 10 $ czwartych potęg liczb całkowitych.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź