LII OM - I - Zadanie 10

Dowieść, że wewnątrz dowolnego trójkąta $ ABC $ istnieje punkt $ P $ o następującej własności:

Każda prosta przechodząca przez punkt $ P $ dzieli obwód trójkąta $ ABC $ w takim samym stosunku, w jakim dzieli ona jego pole.

Rozwiązanie

Wykażemy, że własność opisaną w treści zadania ma środek okręgu wpisanego.

om52_1r_img_17.jpg

Niech $ \ell $ będzie dowolną prostą przechodzącą przez punkt $ P $ będący środkiem okręgu wpisanego w trójkąt $ ABC $ (rys. 1). Bez straty ogólności przyjmijmy, że prosta $ \ell $ przecina boki $ AC $ i $ BC $ odpowiednio w punktach $ D $ i $ E $. Należy wykazać, że

\[<br />
(1) \qquad \frac{[ABED]}{[DEC]}  =\frac{DA + AB + BE}{EC + CD},<br />
\]

gdzie $ [\mathcal{F}] $ jest polem figury $ \mathcal{F} $. Oznaczając przez $ r $ promień okręgu wpisanego w trójkąt $ ABC $ otrzymujemy

\[<br />
\begin{split}<br />
(2)\qquad [ABED]&=[DAP]+[ABP]+[BEP]= \frac{1}{2}DA\cdot r+\frac{1}{2}AB\cdot r+\frac{1}{2}BE \cdot r=\\<br />
&=\frac{1}{2}(DA+AB+BE)\cdot r<br />
\end{split}<br />
\]

oraz

\[<br />
(3)\qquad [DEC]=[ECP]+[CDP]=\frac{1}{2}EC\cdot r+\frac{1}{2}CD\cdot r=\frac{1}{2}(EC+CD)\cdot r.<br />
\]

Dzieląc stronami równości (2) i (3) uzyskujemy równość (1).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź