LII OM - I - Zadanie 12

Rozpatrujemy ciągi liczb całkowitych $ x_0,x_1,\ldots,x_{2000} $ spełniające warunki

\[<br />
x_0 = 0\ \textrm{oraz}\   |x_n| = |x_{n-1} + 1| \ \textrm{dla}\ n = 1,2,\ldots,2000.<br />
\]

Znaleźć najmniejszą wartość wyrażenia $ |x_1 + x_2 +\ldots + x_{2000}| $.

Rozwiązanie

Odpowiedź: Najmniejsza wartość danego wyrażenia wynosi $ 12 $.

Wykażemy indukcyjnie, że dla dowolnego ciągu $ (x_n) $ spełniającego warunki zadania zachodzi równość

\[<br />
(1)\qquad  x_0 + x_1 + x_2 + \ldots + x_n = \frac{1}{2} (x_n^2 + 2x_n-n)  \quad    (n = 0,1,2,3,\ldots,2000).<br />
\]

Dla $ n = 0 $ obie strony powyższej równości są równe $ 0 $. Załóżmy więc, że zależność (1) jest prawdziwa dla pewnego $ n $. Wówczas

\[<br />
\begin{split}<br />
x_{0}+x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}+x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_{n}^{2}+2x_{n}-n)+x_{n+1}=\\<br />
\qquad =\frac{1}{2}((x_{n}+1)^{2}-(n+1))+x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_{n+1}^{2}-(n+1))+x_{n+1}=\\<br />
\qquad =\frac{1}{2}(x_{n+1}^{2}+2x_{n+1}-(n+1)),<br />
\end{split}<br />
\]

co kończy dowód indukcyjny wzoru (1).

Zatem

\[<br />
|x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{2000}|=\frac{1}{2}|x_{2000}^{2}+2x_{2000}-2000|=\frac{1}{2}|(x_{2000}+1)^{2}-2001|.<br />
\]

Liczbą kwadratową leżącą najbliżej liczby $ 2001 $ jest $ 2025 = 45^2 $. Stąd oraz z powyższej równości wnioskujemy, że wyrażenie $ |x_1 + x_2 +\ldots + x_{2000}| $ nie może przyjąć wartości mniejszej niż $ \frac{1}{2}|2025 - 2001| =12 $.

Pozostaje zauważyć, że wartość $ 12 $ można zrealizować przyjmując

\[<br />
x_n=\left\{\begin{array}{rl}<br />
n&\textrm{dla}\ n \leq 44;\\<br />
-45&\textrm{dla}\ n > 44, n\ \textrm{nieparzyste};\\<br />
44&\textrm{dla}\ n > 44, n\ \textrm{parzyste}.<br />
\end{array}\right.<br />
\]

Powyższy ciąg spełnia warunki zadania. Ponadto $ x_{2000} = 44 $, co na mocy równości (1) daje $ |x_1 + x_2 +\ldots + x_{2000}| = 12 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź