LII OM - II - Zadanie 1

Dane są liczby naturalne $ k $, $ n $ większe od $ 1 $, przy czym liczba $ p = 2k-1 $ jest pierwsza. Dowieść, że jeżeli liczba

\[<br />
{n \choose 2} - {k \choose 2}<br />
\]

jest podzielna przez $ p $, to jest ona podzielna przez $ p^2 $.

Rozwiązanie

Liczba $ p $ jest dzielnikiem liczby

\[<br />
a=\frac{n(n-1)}{2}-\frac{k(k-1)}{2}=\frac{(4n^{2}-4n+1)-(4k^{2}-4k+1)}{8}=\frac{(2n-1)^{2}-p^{2}}{8}.<br />
\]

Zatem $ p $, jako liczba nieparzysta, jest dzielnikiem liczby $ (2n - 1)^2 - p^2 $. Liczba $ p $ jest pierwsza, skąd $ p | (2n-1) $. Z podzielności tej wynika, że $ p^2 | (2n - 1)^2 $, czyli $ p^2 | a $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź