LII OM - II - Zadanie 2

Punkty $ A $, $ B $, $ C $ leżą w tej właśnie kolejności na jednej prostej, przy czym $ AB < BC $. Punkty $ D $, $ E $ są wierzchołkami kwadratu $ ABDE $. Okrąg o średnicy $ AC $ przecina prostą $ DE $ w punktach $ P $ i $ Q $, przy czym punkt $ P $ należy do odcinka $ DE $. Proste $ AQ $ i $ BD $ przecinają się w punkcie $ R $. Udowodnić, że $ DP = DR $.

Rozwiązanie

Kąt $ APC $ jest prosty jako kąt wpisany oparty na średnicy (rys. 1). Stąd

\[<br />
\measuredangle EAP = 90^\circ - \measuredangle PAC = \measuredangle ACP.<br />
\]

Z kolei z równości łuków $ AP $ i $ CQ $ wynika równość kątów $ ACP $ i $ CAQ $, skąd

\[<br />
\measuredangle EAP = \measuredangle BAR.<br />
\]

om52_2r_img_1.jpg

Trójkąty $ PAE $ i $ RBA $ są więc przystające (cecha kąt-bok-kąt), co dowodzi, że $ EP = BR $. Stąd $ DP = DR $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź