LII OM - II - Zadanie 3

Niech $ n \geq 3 $ będzie liczbą naturalną. Dowieść, że dowolny wielomian postaci

\[<br />
x^{n}+a_{n-3}x^{n-3}+a_{n-4}x^{n-4}+a_{n-5}x^{n-5}+\ldots+a_{1}x+a_{0},<br />
\]

gdzie co najmniej jeden ze współczynników rzeczywistych $ a_0,a_1,\ldots, a_{n-3} $ jest różny od zera, ma mniej niż $ n $ pierwiastków rzeczywistych (każdy pierwiastek liczymy tyle razy, ile wynosi jego krotność).

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że dany w treści zadania wielomian ma $ n $ pierwiastków rzeczywistych $ x_1,x_2,\ldots,x_n $. Ze wzorów Viete'a wynika, że

\[<br />
x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}=-a_{n-1}=0\ \textrm{oraz}\sum_{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}=a_{n-2}=0.<br />
\]

Zatem $ x_1^2 + x_2^2 +\ldots + x_n^2 =a_{n-1}^2 - 2a_{n-2} = 0 $, skąd $ x_1 = x_2 = \ldots = x_n = 0 $. Jednak powyższa równość pociąga za sobą $ a_0 = a_1 = \ldots = a_{n-3} =0 $, co przeczy założeniu.

Otrzymana sprzeczność dowodzi, że dany wielomian stopnia n nie może mieć $ n $ pierwiastków rzeczywistych, zatem musi ich mieć mniej niż $ n $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź