LII OM - II - Zadanie 4

Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $ n \geq 3 $, dla których prawdziwe jest następujące zdanie:

W dowolnym $ n $-wyrazowym ciągu arytmetycznym $ a_1, a_2,\ldots,a_n $, dla którego liczba $ 1 \cdot a_1 + 2\cdot a_2 +... + n \cdot a_n $ jest wymierna, istnieje wyraz będący liczbą wymierną.

Rozwiązanie

Odpowiedź: Rozpatrywane zdanie jest prawdziwe jedynie dla liczb $ n \geq 3 $ dających z dzielenia przez $ 3 $ resztę $ 1 $.

Niech $ a_i = a + ir $ ($ i = 1,2,\ldots,n $) będzie ciągiem arytmetycznym. Korzystając ze wzorów

\[<br />
1+2+\ldots+n = \frac{n(n+1)}{2} \ \text{oraz}\ 1^{2}+2^{2}+\ldots+n^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}<br />
\]

stwierdzamy, że dana w treści zadania suma jest równa

\[<br />
S=\frac{n(n+1)}{2}a+\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}r.<br />
\]

Stąd uzyskujemy

\[<br />
(1)\qquad \frac{2S}{n(n+1)}=a+\frac{2n+1}{3}r.<br />
\]

Załóżmy najpierw, że liczba $ n $ daje z dzielenia przez $ 3 $ resztę $ 1 $. Wówczas liczba $ k = \frac{1}{3}(2n +1) $ jest całkowita. Z równości (1) oraz z faktu, że $ S $ jest liczbą wymierną wynika, że wyraz $ a_k $ jest liczbą wymierną. Zatem rozpatrywane zdanie jest w tym przypadku prawdziwe.

Załóżmy z kolei, że liczba $ n $ nie daje z dzielenia przez $ 3 $ reszty $ 1 $ (innymi słowy, liczba $ \frac{1}{3} (2n + 1) $ nie jest całkowita). Skonstruujemy ciąg arytmetyczny $ a_i $, dla którego rozpatrywane zdanie nie jest prawdziwe. Przyjmijmy:

\[<br />
r = \sqrt{2}\ \textrm{oraz}\   a = -\frac{1}{3} (2n + 1)\sqrt{2}.<br />
\]

Ze związku (1) otrzymujemy $ S = 0 $, jednak dla dowolnego $ i \in \{1,2,...,n\} $ liczba

\[<br />
a_{i}=\left(i-\frac{1}{3}(2n+1)\right)\sqrt{2}<br />
\]

jest niewymierna. Rozpatrywane zdanie nie jest więc prawdziwe, jeśli $ n $ nie daje z dzielenia przez $ 3 $ reszty $ 1 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź