LII OM - II - Zadanie 5

Punkt $ I $ jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt $ ABC $. Prosta $ AI $ przecina bok $ BC $ w punkcie $ D $. Dowieść, że $ AI + CD = AC $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ \measuredangle B = 60^\circ + \frac{1}{3}\measuredangle C $.

Rozwiązanie

Niech $ E $ będzie takim punktem leżącym na boku $ AC $, że $ AI = AE $ (rys. 1). Wówczas

\[<br />
\begin{split}<br />
AI + CD = AC & \Leftrightarrow CE = CD\\<br />
&\Leftrightarrow \textrm{trójkąty}\ CDI\ \textrm{i}\ CEI\ \textrm{są przystające}\\<br />
&\Leftrightarrow \measuredangle AEI = \measuredangle ADB\\<br />
&\Leftrightarrow \textrm{trójkąty}\ AIE\ \textrm{i}\ ABD\ \textrm{są podobne}\\<br />
&\Leftrightarrow \measuredangle B = \measuredangle ADB\\<br />
&\Leftrightarrow \measuredangle B = \frac{1}{2}\measuredangle A + \measuredangle C\\<br />
&\Leftrightarrow \measuredangle B = 60^\circ +\frac{1}{3} \measuredangle C.<br />
\end{split}<br />
\]

om52_2r_img_2.jpg

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź