LII OM - III - Zadanie 2

Dowieść, że suma odległości dowolnego punktu leżącego wewnątrz czworościanu foremnego o krawędzi $ 1 $ od jego wierzchołków jest nie większa niż $ 3 $.

Rozwiązanie

Niech $ A_1 A_2 A_3 A_4 $ będzie danym czworościanem, a $ P $ dowolnym punktem w jego wnętrzu. Załóżmy, że prosta $ A_i P $ przecina przeciwległą ścianę czworościanu $ A_1 A_2 A_3 A_4 $ w punkcie $ B_i $. Niech $ \mathcal{C}_i $ będzie czworościanem, którego jedną ścianą jest ta ściana czworościanu $ A_1 A_2A_3A_4 $, która zawiera punkt $ B_i $, zaś przeciwległym wierzchołkiem punkt $ P $. Wtedy

\[<br />
\sum_{i=1}^{4}\frac{PB_{i}}{A_{i}B_{i}}=\sum_{i=1}^{4}\frac{V(\mathcal{C}_{i})}{V(A_{1}A_{2}A_{3}A_{4})}=1,<br />
\quad \textrm{stąd} \quad \sum_{i=1}^{4}\frac{A_{i}P}{A_{i}B_{i}}=3.<br />
\]

($ V(\mathcal{T}) $ oznacza objętość czworościanu $ \mathcal{T} $.) Z nierówności $ A_iB_i < 1 $ oraz z powyższej zależności wynika teza.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź