LII OM - III - Zadanie 4

Dane są takie liczby całkowite $ a $ i $ b $, że dla każdej liczby całkowitej nieujemnej $ n $ liczba $ 2^na + b $ jest kwadratem liczby całkowitej. Dowieść, że $ a = 0 $.

Rozwiązanie

Jeżeli $ b = 0 $, to $ a = 0 $, gdyż dla $ a \ne 0 $ liczby $ a $ i $ 2a $ nie mogą być jednocześnie kwadratami liczb całkowitych.

Gdyby liczba $ a $ była ujemna, to dla pewnej, dużej liczby naturalnej $ n $, liczba $ 2^n a + b $ też byłaby ujemna, nie mogłaby więc być kwadratem liczby całkowitej.

Pozostaje do rozpatrzenia przypadek, gdy $ a \geq 0 $ oraz $ b \neq 0 $.

Dla każdej liczby całkowitej dodatniej $ k $, liczby

\[<br />
2^{2k} a + b \  \textrm{oraz}\   4(2^{2k-2} a + b) = 2^{2k} a + 4b<br />
\]

są kwadratami różnych liczb całkowitych nieujemnych, powiedzmy

\[<br />
2^{2k}a+b=x_{k}^{2}\ \textrm{oraz}\ 2^{2k}a+4b=y_{k}^{2}.<br />
\]

Wówczas $ x_{k}+y_{k}\leq(x_{k}+y_{k})|x_{k}-y_{k}|=|x_{k}^{2}-y_{k}^{2}|=|3b| $, skąd

\[<br />
2^{2k}a+b=x_{k}^{2}\leq(x_{k}+y_{k})^{2}\leq 9b^{2}\ \textrm{dla każdego $k$.}<br />
\]

Zatem ciąg $ (x_k) $ jest ograniczony, co jest możliwe tylko wtedy, gdy $ a = 0 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź