LII OM - III - Zadanie 5

Punkty $ K $ i $ L $ leżą odpowiednio na bokach $ BC $ i $ CD $ równoległoboku $ ABCD $, przy czym $ BK \cdot AD = DL \cdot AB $. Odcinki $ DK $ i $ BL $ przecinają się w punkcie P. Wykazać, że $ \measuredangle DAP = \measuredangle BAC $.

Rozwiązanie

Niech $ Y $ będzie punktem przecięcia prostych $ AP $ i $ CD $ oraz niech $ X $ będzie punktem przecięcia prostych $ DK $ i $ AB $ (rys. $ 1 $ i $ 2 $). Wówczas

\[<br />
\frac{DL}{DY}=\frac{BX}{AX}=\frac{BK}{AD}.<br />
\]

Stąd oraz z równości danej w treści zadania otrzymujemy:

\[<br />
\frac{DY}{AD}=\frac{DL}{BK}=\frac{AD}{AB}=\frac{BC}{AB}.<br />
\]

om52_3r_img_1.jpg
om52_3r_img_2.jpg

To dowodzi, że trójkąty $ ABC $ i $ ADY $ są podobne, skąd wynika teza.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź