LI OM - I - Zadanie 1

Dana jest liczba naturalna $ n \geq 3 $. Udowodnić, ze suma sześcianów wszystkich liczb naturalnych mniejszych od $ n $, względnie pierwszych z $ n $, dzieli się przez $ n $.

Rozwiązanie

Każda liczba naturalna mniejsza od $ n $ i względnie pierwsza z $ n $ jest równa $ k $ lub $ n-k $, gdzie $ k $ jest pewną liczbą naturalną mniejszą od $ n/2 $ i względnie pierwszą z $ n $. Zatem dana w zadaniu suma sześcianów jest równa

\[<br />
\sum_{{1\leq k<n/2} \atop {(k,n)=1}} k^3+(n-k)^3<br />
= \sum_{{1\leq k<n/2}\atop {(k,n)=1}}n^{3}-3kn^{2}+3k^{2}n=n\cdot\sum_{{1\leq k<n/2} \atop {(k,n)=1}}n^{2}-3kn+3k^{2},<br />
\]

a więc jest podzielna przez $ n $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź