LI OM - I - Zadanie 2

W trójkącie ostrokątnym $ ABC $ spełniony jest warunek

\[<br />
\measuredangle ACB=2 \measuredangle ABC.<br />
\]

Punkt $ D $ leży na boku $ BC $, przy czym $ \measuredangle BAD =\frac{1}{2} \measuredangle ABC $. Dowieść, że

\[<br />
(1)\qquad\frac{1}{BD}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}.<br />
\]

Rozwiązanie

Wykażemy, że równość (1) jest prawdziwa dla dowolnego trójkąta ABC, niekoniecznie ostrokątnego.

Niech $ E $ będzie takim punktem półprostej $ BC^\to $, że $ AD $ jest dwusieczną kąta $ BAE $ (rys. 1 i 2).

om51_1r_img_1.jpg
om51_1r_img_2.jpg

Wówczas $ \measuredangle EBA =\measuredangle EAB $. Jeżeli punkt $ E $ leży na boku $ BC $ (rys. 1), to

\[<br />
\measuredangle AEC= 2\measuredangle ABC = \measuredangle ACE.<br />
\]

Jeśli natomiast punkt $ E $ nie leży na boku $ BC $ (rys. 2), to

\[<br />
\measuredangle AEC= 180^\circ - 2\measuredangle ABE = 180^\circ - \measuredangle ACB = \measuredangle ACE.<br />
\]

Zatem w obu przypadkach $ BE = AE = AC $. Na mocy twierdzenia o dwusiecznej otrzymujemy

\[<br />
\frac{BD}{AB} + \frac{BD}{AC} = \frac{DE}{AE} + \frac{BD}{AE}=\frac{BE}{AE}=1,<br />
\]

co należało udowodnić.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź