LI OM - I - Zadanie 3

Suma liczb dodatnich $ a $, $ b $, $ c $ równa jest $ 1 $. Udowodnić, że

\[<br />
a^2 + b^2 + c^2 + 2\sqrt{3abc} \leq 1 .<br />
\]

Rozwiązanie

Wystarczy dowieść, że dla dowolnych liczb dodatnich $ a $, $ b $, $ c $ zachodzi nierówność

\[<br />
a^2 + b^2 + c^2 + 2\sqrt{3abc(a + b + c)} \leq (a + b + c)^2.<br />
\]

Przekształcając równoważnie powyższą zależność otrzymujemy

\[<br />
\sqrt{3abc(a+b+c)} \leq ab + bc + ca.<br />
\]

Wykonując podstawienie $ x = bc $, $ y = ca $, $ z = ab $, sprowadzamy dowodzoną nierówność do postaci

\[<br />
\sqrt{3(xy+yz + zx)} = x+y + z.<br />
\]

Podnosząc do kwadratu obie strony ostatniej nierówności i przekształcając równoważnie otrzymujemy

\[<br />
xy+yz + xz=x^2 + y^2 + z^2 \  \textrm{lub}\   (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2\geq 0,<br />
\]

co jest prawdą.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź