LI OM - I - Zadanie 5

Wyznaczyć wszystkie pary $ (a,b) $ liczb naturalnych, dla których liczby $ a^3 + 6ab + 1  $ i $ b^3 + 6ab + 1 $ są sześcianami liczb naturalnych.

Rozwiązanie

Niech $ a $ i $ b $ będą liczbami spełniającymi warunki zadania. Bez szkody dla ogólności rozumowania możemy założyć, że $ a \leq b $. Wówczas

\[<br />
b^3 < b^3 + 6ab+ 1 \leq b^3 + 6b^2 + 1< b^3 + 6b^2 + 12b + 8 = (b + 2)^3 .<br />
\]

Skoro liczba $ b^3+6ab + 1 $ jest sześcianem liczby całkowitej, to musi zachodzić równość

\[<br />
(1)\qquad b^3+ 6ab +1 = (b+1)^3.<br />
\]

Przekształcając równoważnie powyższy związek otrzymujemy po kolei

\[<br />
(2)\qquad<br />
\begin{split}<br />
b^{3}+6ab+1&=b^{3}+3b^{2}+3b+1\\<br />
2ab&=b(b+1)\\<br />
b&=2a-1<br />
\end{split}<br />
\]

Pozostaje rozstrzygnąć, dla jakich par $ (a, b) $ spełniających warunek (2) liczba

\[<br />
a^3 +6ab+1<br />
\]

jest sześcianem liczby całkowitej. Na mocy zależności (2) powyższa liczba jest równa $ a^3 + 12a^2 - 6a + 1 $. Z nierówności

\[<br />
a^3 \leq   a^3 + 6a^2-6a < a^3+12a^2-6a + 1< a^3 + 12a^2 + 48a + 64 = (a + 4)^3<br />
\]

wynika, że jeżeli liczba $ a^3 + 12a^2 - 6a+ 1 $ jest sześcianem liczby całkowitej, to jest ona równa $ (a+ 1)^3 $, $ (a + 2)^3 $ lub $ (a + 3)^3 $. Należy więc rozważyć trzy przypadki:

(a) $ a^3  + 12a^2 - 6a + 1 =  (a +1)^3 $

Wówczas otrzymujemy $ 9a^{2}-9a=0 $, skąd $ a = 0 $ lub $ a = 1 $.

(b) $ a^{3}+12a^{2}-6a+1=(a+2)^{3} $

Stąd mamy $ 6a^2 - 18a - 7 = 0 $. Uzyskane równanie nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych, gdyż lewa strona nie jest podzielna przez $ 3 $, a prawa jest.

(c) $ a^{3}+12a^{2}-6a+1=(a+3)^{3} $

Wtedy uzyskujemy $ 3a^2 - 33a - 26 = 0 $. Podobnie jak w przypadku (b), otrzymane równanie nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych, gdyż lewa strona nie jest podzielna przez $ 3 $, a prawa jest równa $ 0 $.

Ostatecznie znaleźliśmy tylko jedną parę $ (a,b) = (1,1) $ spełniającą warunki zadania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź