LI OM - I - Zadanie 6

Punkt $ X $ leży wewnątrz lub na brzegu trójkąta $ ABC $, w którym kąt $ C $ jest prosty. Punkty $ P $, $ Q $ i $ R $ są odpowiednio rzutami punktu $ X $ na boki $ BC $, $ CA $ i $ AB $. Udowodnić, ze równość

\[<br />
AR \cdot RB = BP \cdot PC + AQ \cdot QC<br />
\]

zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy punkt $ X $ leży na boku $ AB $.

Rozwiązanie

Wprowadźmy dla zwięzłości zapisu następujące oznaczenie:

\[<br />
w = 2 \cdot (AR\cdot RB - BP\cdot PC - AQ \cdot QC).<br />
\]

Należy wykazać, ze $ w = 0 $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ XR = 0 $.

Na mocy twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy zależność (rys. 1):

\[<br />
(AR + RB)^2 = (AQ+QC)^2 + (CP+PB)^2.<br />
\]

Przekształcając równoważnie powyższą równość uzyskujemy po kolei:

\[<br />
\begin{split}<br />
&w = AQ^2 +QC^2+ CP^2+ PB^2- AR^2- RB^2 \\<br />
&w = AQ^2 +PX^2+ QX^2+ PB^2- AR^2- RB^2 \\<br />
&w = AX^2 +BX^2- AR^2- RB^2 \\<br />
&w = 2XR^2<br />
\end{split}<br />
\]

om51_1r_img_9.jpg

Z ostatniej równości wynika natychmiast, ze $ w = 0 $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ XR= 0 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź