LI OM - I - Zadanie 7

Wykazać, że dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej $ n $ i dowolnej liczby $ t\in(\frac{1}{2},1) $ istnieją takie liczby $ a,b \in (1999,2000) $, że

\[<br />
\frac{1}{2}a^{n}+\frac{1}{2}b^{n}<(ta+(1-t)b)^{n}.<br />
\]

Rozwiązanie

Niech $ c = 3999/2 $. Liczb $ a $, $ b $ szukamy w postaci $ a = c+x $, $ b = c-x $, gdzie $ x \in (0, \frac{1}{2}) $. Wówczas

\[<br />
\begin{split}<br />
(ta+(1-t)b)^{n}&- \frac{1}{2}a^{n}-\frac{1}{2}b^{n}=\\<br />
&=(ct+tx+(1-t)c-(1-t)x)^{n}-\frac{1}{2}(c+x)^{n}-\frac{1}{2}(c-x)^{n}=\\<br />
&=(c+(2t-1)x)^{n}-\frac{1}{2}(c+x)^{n}-\frac{1}{2}(c-x)^{n}=\\<br />
&=(c+sx)^{n}-\frac{1}{2}(c+x)^{n}-\frac{1}{2}(c-x)^{n},\\<br />
\end{split}<br />
\]

gdzie $ s = 2t - 1 > 0 $. Po rozpisaniu ze wzoru dwumianowego Newtona ostatnie wyrażenie przyjmuje postać

\[<br />
(1) \qquad w(x) = sx + x^2p(x) ,<br />
\]

gdzie $ p(x) $ jest pewnym wielomianem.

Chcemy wykazać, że dla pewnej liczby $ y \in (0,\frac{1}{2}) $, liczba $ w(y) $ jest dodatnia. Z równości (1) wynika, że

\[<br />
\lim_{x\to 0} \frac{w(x)}{x}=s>0.<br />
\]

Zatem istnieje taka liczba $ y \in (0,\frac{1}{2}) $, że wyrażenie $ w(y)/y $, a co za tym idzie również wyrażenie $ w(y) $, ma wartość dodatnią. To zaś kończy dowód.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź