LI OM - I - Zadanie 9

Dane są takie liczby całkowite dodatnie $ m $ i $ n $, że $ mn | m^2 + n^2 + m $. Wykazać, że $ m $ jest kwadratem liczby całkowitej.

Rozwiązanie

Niech $ d $ będzie największym wspólnym dzielnikiem liczb $ m $ i $ n $. Wówczas $ d^2 | mn $, a zatem $ d^2 |m^2 + n^2 + m $. Stąd wobec podzielności $ d^2 | m^2 $ oraz $ d^2 | n^2 $ otrzymujemy $ d^2 | m $.

Z drugiej strony, $ m | m^2 + n^2 + m $, skąd uzyskujemy podzielność $ m|n^2 $. Zatem $ m $ jest wspólnym dzielnikiem liczb $ n^2 $ i $ m^2 $. To oznacza, że największy wspólny dzielnik liczb $ m^2 $ i $ n^2 $, który jest równy $ d^2 $, jest podzielny przez $ m $. Wobec wyżej udowodnionej podzielności $ d^2 | m $ otrzymujemy $ m = d^2 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź