LI OM - I - Zadanie 10

W przestrzeni dane są trzy wzajemnie prostopadłe wektory jednostkowe $ \overrightarrow{OA} $, $ \overrightarrow{OB} $, $ \overrightarrow{OC} $. Niech $ \omega $ będzie płaszczyzną przechodzącą przez punkt $ O $, zaś $ A' $, $ B' $, $ C' $ - rzutami punktów $ A $, $ B $, $ C $ odpowiednio na płaszczyznę $ \omega $. Wyznaczyć zbiór wartości wyrażenia

\[<br />
(1) \quad (OA')^2 + (OB')^2 + (OC')^2<br />
\]

dla wszystkich płaszczyzn $ \omega $.

Rozwiązanie

Wykażemy, że wartość wyrażenia (1) jest równa $ 2 $, niezależnie od wyboru płaszczyzny $ \omega $.

Niech $ \omega $ będzie dowolną płaszczyzną przechodzącą przez punkt $ O $, zaś $ \pi $ płaszczyzną zawierającą punkty $ O $, $ A $, $ B $. Oznaczmy przez $ \ell $ wspólną prostą płaszczyzn $ \pi $ i $ \omega $. Niech $ X $, $ Y $ będą rzutami prostokątnymi odpowiednio punktów $ A $, $ B $ na prostą $ \ell $. Wówczas, niezależnie od położenia punktów $ A $, $ B $ względem prostej $ \ell $ (rys. 1 i 2),

\[<br />
\measuredangle OAX = 90^\circ - \measuredangle AOX = \measuredangle BOY = \alpha.<br />
\]

om51_1r_img_10.jpg
om51_1r_img_11.jpg

Stąd

\[<br />
(2) \qquad AX^2 + BY^2 = \cos^2 a + \sin^2 a = 1.<br />
\]

Ponadto $ \measuredangle AXA' = \measuredangle BYB' $ = (kąt pomiędzy płaszczyznami $ \pi $ i $ \omega $) = $ \beta $. Zatem na mocy równości (2),

\[<br />
(AA')^2 + (BB')^2 = AX^2 sin^2\beta + BY^2\sin^2\beta = \sin^2\beta.<br />
\]

Na mocy twierdzenia Pitagorasa oraz powyższej równości otrzymujemy

\[<br />
(3)\qquad (OA')^2 + (OB')^2 = 2 - (AA')^2 - (BB')^2 = 2 - \sin^2\beta.<br />
\]

Wektor $ \overrightarrow{OC} $ jest prostopadły do płaszczyzny $ \pi $, skąd $ \measuredangle COC' = 90^\circ - \beta $. Zatem

\[<br />
(4)\qquad (OC')^2 = \cos^2(90^\circ - \alpha) = \sin^2 \beta .<br />
\]

Dodając stronami równości (3) i (4) uzyskujemy

\[<br />
(OA')^2 + (OB')^2 + (OC')^2 = 2,<br />
\]

niezależnie od wyboru płaszczyzny $ \omega $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź