LI OM - II - Zadanie 1

Rozstrzygnąć, czy każdą liczbę wymierną dodatnią można przedstawić w postaci

\[<br />
\frac{a^2+b^3}{c^5+d^7},<br />
\]

gdzie $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ są liczbami całkowitymi dodatnimi.

Rozwiązanie

Dla dowolnych liczb całkowitych dodatnich $ p $, $ q $ zachodzą następujące równości:

\[<br />
\frac{p}{q}=\frac{p}{q}\cdot\frac{p^{5}q^{4}+p^{14}q^{6}}{p^{5}q^{4}+p^{14}q^{6}}=\frac{p^{6}q^{4}+p^{15}q^{6}}{p^{5}q^{5}+p^{14}q^{7}}=\frac{(p^{3}q^{2})^{2}+(p^{5}q^{2})^{3}}{(pq)^{5}+(p^{2}q)^{7}}.<br />
\]

Zatem każdą liczbę wymierną dodatnią można przedstawić w żądanej postaci.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź