LX OM - II - Zadanie 1

Liczby rzeczywiste $ a_1, a_2,  \cdots , a_n $ $ (n \geqslant 2) $ spełniają warunek
$ a_1 \geqslant a_2 \geqslant \cdots \geqslant a_n > 0 $. Udowodnić nierówność

\[<br />
a_1a_2  \cdots a_{n-1} +(2a_2 -a_1)(2a_3 -a_2) \cdots  (2a_n -a_{n-1}) \geqslant 2a_2a_3  \cdots a_n.<br />
\]

Rozwiązanie

Zastosujemy indukcję matematyczną ze względu na wartość liczby $ n $.

Dla $ n = 2 $ teza zadania jest prawdziwa, gdyż obie strony dowodzonej zależności są równe $ 2a_2 $.

Przechodząc do kroku indukcyjnego rozpatrzmy liczby rzeczywiste
$ a_1, a_2,  \cdots , a_{n+1} $, dla których $ a_1 \geqslant a_2  \geqslant \cdots \geqslant a_{n+1} >0 $.
Należy udowodnić nierówność

\[<br />
(1) \qquad a_1a_2  \cdots a_n +(2a_2 -a_1)(2a_3 -a_2) \cdots (2a_{n+1} -a_n) \geqslant<br />
2a_2a_3  \cdots a_na_{n+1}.<br />
\]

Wprowadźmy oznaczenia

\[<br />
t = a_1 -a_2, \quad K = a_2a_3  \cdots a_n, \quad L = (2a_3 -a_2) \cdots (2a_{n+1} -a_n);<br />
\]

wówczas lewą stronę zależności (1) możemy zapisać w postaci

\[<br />
(2) a_1K +(2a_2 -a_1)L =(a_2 +t)K +(a_2 -t)L = a_2(K +L)+t(K -L).<br />
\]

Stosując założenie indukcyjne do $ n $ liczb $ a_2 \geqslant a_3 \geqslant \cdots  \geqslant a_{n+1} \geqslant 0 $
uzyskujemy

\[<br />
\begin{split}<br />
K+L &= a_2a_3  \cdots a_n +(2a_3 -a_2)(2a_4 -a_3) \cdots (2a_{n+1} -a_n) \geqslant<br />
\geqslant 2a_3  \cdots a_na_{n+1}.<br />
\end{split}<br />
\]

Ponadto dla dowolnych liczb rzeczywistych $ x\geqslant y>0 $ prawdziwa jest podwójna nierówność
$ -x \leqslant -x+2(x-y)= x-2y<x $, skąd $ |x-2y|\leqslant x $ i w konsekwencji

\[<br />
|L| = |2a_3 -a_2|\cdot |2a_4 -a_3|\cdot \cdots \cdot|2a_{n+1} -a_n|\leqslant a_2 \cdot a_3 \cdot \cdots \cdot a_n = K.<br />
\]

Oznacza to, że liczba $ K - L $ jest nieujemna. Liczba $ t = a_1 - a_2 $ jest również nieujemna, zatem
kontynuując zależność (2) i wykorzystując (3) dostajemy

\[<br />
a_2(K +L)+t(K -L) \geqslant a_2 \cdot 2a_3  \cdots a_na_{n+1}.<br />
\]

Otrzymaliśmy prawą stronę nierówności (1), co kończy dowód indukcyjny.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź