LI OM - II - Zadanie 2

Dwusieczna kąta $ BAC $ trójkąta $ ABC $ przecina okrąg opisany na tym trójkącie w punkcie $ D $ różnym od $ A $. Punkty $ K $ i $ L $ są rzutami prostokątnymi odpowiednio punktów $ B $ i $ C $ na prostą $ AD $. Dowieść, że

\[<br />
AD \geq BK + CL.<br />
\]

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $ o $ okrąg opisany na trójkącie $ ABC $. Z równości kątów $ BAD $ i $ DAC $ wynika, że długości łuków $ BD $ i $ DC $ okręgu $ o $ są równe (długość łuku $ XY $ jest mierzona od punktu $ X $ do punktu $ Y $ w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara).

om51_2r_img_1.jpg
om51_2r_img_2.jpg

Niech $ E $ będzie punktem symetrycznym do punktu $ D $ względem symetralnej boku $ AB $, zaś niech $ N $ będzie rzutem prostokątnym punktu $ E $ na prostą $ AD $ (rys. 1 i 2). Wówczas $ AD = BE $. Ponadto długości łuków $ DC $ i $ EA $ są równe, co oznacza, że $ EN = CL $.

Punkty $ B $ i $ E $ leżą po dwóch różnych stronach prostej $ AD $. Zatem długość odcinka $ BE $ jest nie mniejsza niż suma odległości punktów $ B $ i $ E $ od prostej $ AD $. Innymi słowy $ BE\geq BK + EN $, czyli $ AD \geq BK + CL $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź