LI OM - II - Zadanie 4

Punkt $ I $ jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt $ ABC $, w którym $ AB \neq AC $. Proste $ BI $ i $ CI $ przecinają boki $ AC $ i $ AB $ odpowiednio w punktach $ D $ i $ E $. Wyznaczyć wszystkie miary kąta $ BAC $, dla których może zachodzić równość $ DI = EI $.

Rozwiązanie

Wykażemy, że jedyną wartością przyjmowaną przez kąt $ BAC $ jest $ 60^\circ $.

Na mocy twierdzenia sinusów zastosowanego do trójkątów $ ADI $ i $ AEI $ otrzymujemy $ \sin \measuredangle AEI = \sin \measuredangle ADI $. Stąd

\[<br />
\measuredangle AEI = \measuredangle ADI \quad \textrm{lub} \quad \measuredangle AEI+ \measuredangle ADI = 180^\circ.<br />
\]

om51_2r_img_6.jpg

Przypuśćmy najpierw, że zachodzi równość $ \measuredangle AEI = \measuredangle ADI $ (rys. 1). Wtedy również $ \measuredangle AIE = \measuredangle AID $, co oznacza, że trójkąty $ AEI $ oraz $ ADI $ są przystające (cecha kąt-bok-kąt). Zatem $ AD = AE $. To dowodzi, że przystające są także trójkąty $ ADB $ i $ AEC $ (cecha kąt-bok-kąt). Stąd uzyskujemy równość $ AB = AC $, co przeczy założeniom poczynionym w treści zadania.

om51_2r_img_7.jpg

Pozostał do rozpatrzenia przypadek, w którym $ \measuredangle AEI+ \measuredangle ADI = 180^\circ $ (rys. 2). Wtedy punkty $ A $, $ E $, $ I $, $ D $ leżą na jednym okręgu. Zatem

\[<br />
\measuredangle BAC = \measuredangle DIC = \measuredangle IBC+ \measuredangle ICB = \frac{1}{2} \measuredangle ABC+ \frac{1}{2} \measuredangle BCA.<br />
\]

Stąd otrzymujemy

\[<br />
180^\circ = \measuredangle BAC + \measuredangle ABC + \measuredangle BCA= \measuredangle BAC + 2\measuredangle BAC = 3 \measuredangle BAC,<br />
\]

czyli $ \measuredangle BAC = 60^\circ $.

Do zakończenia rozwiązania pozostało wykazać, że istnieje trójkąt $ ABC $, w którym $ AB\neq AC $, $ \measuredangle BAC = 60^\circ $ oraz $ DI = EI $. Wykażemy więcej: w każdym trójkącie $ ABC $ o kącie $ BAC $ równym $ 60^\circ $ zachodzi równość $ DI = EI $.

Jeżeli $ \measuredangle BAC = 60^\circ $, to

\[<br />
\measuredangle DIC =\frac{1}{2} \measuredangle ABC + \frac{1}{2} \measuredangle BCA = 90^\circ - \frac{1}{2} \measuredangle BAC = 60^\circ = \measuredangle BAC.<br />
\]

Na czworokącie $ AEID $ można więc opisać okrąg. Ponieważ $ AI $ jest dwusieczną kąta $ EAD $, więc $ DI = EI $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź