LI OM - II - Zadanie 5

Niech $ \mathbb{N} $ oznacza zbiór liczb całkowitych dodatnich. Rozstrzygnąć, czy istnieje taka funkcja $ f: \mathbb{N}\to \mathbb{N} $, że dla każdego $ n\in \mathbb{N} $ zachodzi równość $ f(f(n)) =2n $.

Rozwiązanie

Taka funkcja istnieje. Oto przykład.

Niech $ A $ będzie zbiorem tych liczb całkowitych dodatnich, w których rozkładzie na czynniki pierwsze „trójka" występuje nieparzystą liczbę razy. Funkcję $ f $ definiujemy wzorem:

\[<br />
f(n)=\left\{\begin{array}{ll}<br />
\frac{1}{3}n&\textrm{dla}\quad n\in A,\\<br />
6n&\textrm{dla}\quad n\in \mathbb{N}\setminus A.<br />
\end{array}\right.<br />
\]

Wówczas, jeśli $ n \in A $, to $ f(n) \in \mathbb{N}\setminus A $, skąd

\[<br />
f(f(n)) = f(\frac{1}{3}n) = 2n\ \textrm{dla}\ n\in A.<br />
\]

Podobnie, jeżeli $ n \in \mathbb{N}\setminus A $, to $ f(n) \in A $, co daje

\[<br />
f(f(n)) = f(6n) = 2n \quad \textrm{dla}\ n \in \mathbb{N}\setminus A.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź