LI OM - II - Zadanie 6

Wielomian $ w(x) $ stopnia drugiego o współczynnikach całkowitych przyjmuje dla całkowitych $ x $ wartości będące kwadratami liczb całkowitych. Dowieść, że wielomian $ w(x) $ jest kwadratem pewnego wielomianu.

Rozwiązanie

Niech $ w(x) = ax^2 + bx + c $. Wprowadźmy oznaczenie: $ k_n = \sqrt{w(n)} $ dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej $ n $. Wówczas $ k_n $ może być zerem dla co najwyżej dwóch wartości $ n $. Dla pozostałych $ n $ mamy

\[<br />
k_{n+1}-k_{n}=\frac{k_{n+1}^{2}-k_{n}^{2}}{k_{n+1}+k_{n}}=\frac{(2n+1)a+b}{\sqrt{a(n+1)^{2}+b(n+1)+c}+\sqrt{an^{2}+bn+c}}.<br />
\]

Dzieląc licznik i mianownik otrzymanego ułamka przez $ n $ i przechodząc z $ n $ do nieskończoności widzimy, że ciąg $ (k_{n+1} - k_n) $ jest zbieżny i jego granica wynosi $ \sqrt{a} $. Ponieważ wyrazy ciągu $ (k_{n+1} - k_n) $ są całkowite, więc granica tego ciągu, liczba $ \sqrt{a} $, jest też całkowita. Ponadto istnieje taka liczba naturalna $ m $, że

\[<br />
(1) \qquad k_{n+1} - k_n = \sqrt{a}\quad \textrm{dla}\ n\geq m.<br />
\]

Niech $ d = k_m - m\sqrt{a} $. Ze związku (1) wynika, że

\[<br />
(2) \qquad k_n = n\sqrt{a}+d \quad \textrm{dla}\ n\geq m.<br />
\]

Przyjmijmy: $ p(x) = (x\sqrt{a} + d)^2 $. Na mocy definicji liczb $ k_n $ oraz równości (2) uzyskujemy równość $ p(n) = w(n) $ dla $ n \geq m $. To oznacza, że $ p(x) = w(x) $, skąd

\[<br />
w(x)=(x\sqrt{a}+d)^2.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź