LI OM - III - Zadanie 1

Dana jest liczba całkowita $ n \geq 2 $.

Wyznaczyć liczbę rozwiązań $ (x_1,x_2,\ldots,x_n) $ układu równań

\[<br />
\left\{\begin{array}{c}<br />
x_{2}+x_{1}^{2}=4x_{1}\\<br />
x_{3}+x_{2}^{2}=4x_{2}\\<br />
x_{4}+x_{3}^{2}=4x_{3}\\<br />
\vdots\\<br />
 x_{n}+x_{n-1}^{2}=4x_{n-1}\\<br />
x_{1}+x_{n}^{2}=4x_{n}<br />
\end{array}\right.<br />
\]

w liczbach rzeczywistych nieujemnych.

Rozwiązanie

Odpowiedź: $ 2^n $.

Z pierwszego równania otrzymujemy

\[<br />
x_1(x_1 -4) = x_1^2 - 4x_1 = - x_2 \leq 0,<br />
\]

skąd wynika, że $ x_1 \leq 4 $. Istnieje więc dokładnie jedna liczba $ \alpha \in \langle 0,\pi/2\rangle $, spełniająca zależność $ x_1 =4\sin^2 \alpha $.

Wówczas $ x_{2}=x_{1}(4-x_{1})=4\sin^{2}\alpha\cdot 4\cos^{2}\alpha=4\sin^{2}2\alpha $. Rozumując analogicznie dostajemy

\[<br />
x_{k}=4\sin^{2}(2^{k-1}\alpha)\ (k=3,4, \ldots,n)<br />
\]

oraz $ x_{1}=4\sin^{2}(2^{n}\alpha) $.

Liczba rozwiązań danego układu równań w liczbach nieujemnych jest więc równa liczbie rozwiązań równania

\[<br />
\sin^2 \alpha = \sin^2 (2^n\alpha)<br />
\]

w liczbach rzeczywistych $ \alpha \in \langle 0,\pi/2\rangle $. Ponieważ równość $ \sin\beta=\pm\sin\gamma $ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy któraś z liczb $ \beta+\gamma $, $ \beta-\gamma $ jest całkowitą wielokrotnością $ \pi $, więc jedna z liczb $ (2^n+1)\alpha $, $ (2^n-1)\alpha $ musi być całkowitą wielokrotnością $ \pi $. Stąd wynika, że $ \alpha $ jest jedną z liczb:

\[<br />
0,\ \frac{k\pi}{2^{n}+1},\ \frac{\ell\pi}{2^{n}-1},\ \text{gdzie}\ k\ \in\{1,2,\ldots,2^{n-1}\},\ \ell\in\{1,2, \ldots,2^{n-1}-1\}.<br />
\]

Ponieważ największy wspólny dzielnik liczb $ 2^n + 1 $ i $ 2^n - 1 $ jest równy $ 1 $, więc wyżej wypisane możliwe wartości $ \alpha $ są różne. Zatem istnieje dokładnie $ 2^n $ ciągów liczb nieujemnych $ (x_1,x_2,\ldots,x_n) $ spełniających dany układ równań.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź