LI OM - III - Zadanie 6

Stopień wielomianu $ P(x) $ o współczynnikach rzeczywistych jest nieparzysty. Ponadto dla każdego $ x $

\[<br />
P (x^2 - 1)= (P (x))^2 - 1.<br />
\]

Udowodnić, że dla każdej liczby rzeczywistej $ x $ zachodzi równość

\[<br />
P(x) = x.<br />
\]

Rozwiązanie

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $ x $ prawdziwe są zależności

\[<br />
(P (-x))^2 = P (x^2 - 1) +1 = (P (x))^2.<br />
\]

Stąd wynika, że dla każdego $ x $ zachodzi jedna z równości: $ P(-x) = P(x) $ lub P $ (-x) = -P (x) $.

Przypuśćmy, że dla nieskończenie wielu $ x $ zachodzi równość $ P(-x) = P(x) $. Wówczas równość ta musi być prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej $ x $, co przeczy założeniu, że stopień wielomianu $ P $ jest liczbą nieparzystą.

Zatem dla nieskończenie wielu $ x $ zachodzi równość $ P(-x) = -P(x) $, skąd wynika, że równość ta jest prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych $ x $.

Dowolną liczbę rzeczywistą $ x \geq -1 $ możemy zapisać w postaci $ x = y^2 - 1 $, dla pewnej liczby rzeczywistej $ y $. Stąd

\[<br />
(1)  \qquad P (x) = P (y^2 - 1) = (P (y))^2 - 1 \geq - 1.<br />
\]

Określamy rekurencyjnie ciąg $ (x_n) $ wzorami:

\[<br />
x_1 = 1\quad \textrm{oraz}\quad   x_n = \sqrt{x_{n-1} + 1}\quad \textrm{dla}\quad n \geq 2.<br />
\]

Udowodnimy indukcyjnie, że

\[<br />
(2)\qquad P(x_n)= x_n\ \textrm{dla}\ n \in\mathrm{N}.<br />
\]

Z zależności $ P(-x) =-P(x) $ otrzymujemy $ P(0) =0 $. Kładąc $ x=0 $ do danej w treści zadania tożsamości otrzymujemy $ P(-1) = -1 $, skąd $ P(1) = 1 $. To dowodzi równości (2) dla $ n=1 $.

Ze związku $ P(x_{n-1}) = x_{n-1} $ wynika, że

\[<br />
(P(x_n))^2 = P(x_n^2 - 1) + 1 = P(x_{n-1}) + 1 = x_{n-1} + 1 = x_n^2.<br />
\]

Ponieważ $ x_n > 1 $ dla $ n \geq 2 $, więc nierówność (1) wyklucza prawdziwość równości $ P(x_n) = -x_n $. Zatem $ P(x_n) = x_n $, co kończy dowód zależności (2).

Ciąg $ (x_n) $ jest rosnący, więc równość $ P(x) = x $ zachodzi dla nieskończenie wielu $ x $. Z tego zaś wynika, że $ P(x) = x $ dla wszystkich $ x \in \mathbb{R} $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź