LX OM - II - Zadanie 2

Dane są takie liczby całkowite $ a $ i $ b $, że $ a>b> 1 $ oraz liczba $ ab +1 $ jest podzielna przez $ a+b $,
zaś liczba $ ab-1 $ jest podzielna przez $ a-b $.

Wykazać, że $ a<b\sqrt{3} $.

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że

\[<br />
(a+b)b-(ab+1) = b^2 -1\quad \text{oraz} \quad (ab-1)-b(a-b)= b^2 -1.<br />
\]

Zatem z danych w treści zadania podzielności wynika, że liczba $ b^2 - 1 $ jest podzielna przez
$ a+b $ i przez $ a-b $.

Liczby $ a $ i $ b $ są względnie pierwsze. Jeżeli bowiem $ d $ jest ich wspólnym dzielnikiem dodatnim,
to liczby $ a + b $ i $ ab $ są podzielne przez $ d $; z drugiej strony, liczba $ ab+1 $ jest podzielna przez liczbę
$ a+b $ podzielną przez $ d $. Zatem liczby $ ab $ i $ ab+1 $ są podzielne przez $ d $, skąd wynika, że $ d = 1 $.

Niech $ e $ oznacza największy wspólny dzielnik liczb $ a+b $ i $ a-b $. Wówczas $ e $ jest dzielnikiem sumy
i różnicy tych dwóch liczb, równych odpowiednio $ 2a $ i $ 2b $. Skoro liczby $ a $ i $ b $ są względnie pierwsze,
otrzymujemy $ e = 1 $ lub $ e = 2 $. Stąd wniosek, że jeśli liczba całkowita jest podzielna przez
$ a + b $ i $ a - b $, to dwukrotność tej liczby jest podzielna przez $ (a+b)(a-b)= a^2 - b^2 $.

Jak zauważyliśmy wcześniej, liczba $ b^2-1 $ jest podzielna przez $ a+b $ i przez $ a-b $. Oznacza to,
że liczba $ 2(b^2-1) $ jest podzielna przez $ a^2-b^2 $. Ponadto $ b>1 $, a więc liczba $ 2(b^2 -1) $ jest
dodatnia i wobec tego jest nie mniejsza niż $ a^2 -b^2 $. Zapisując nierówność
$ 2(b^2 - 1) \geqslant a^2 -b^2 $ w równoważnej postaci $ a^2 \leqslant 3b^2 - 2 $
widzimy, że $ a<3b^2 $, co jest równoznaczne z tezą zadania.

Komentarze

Te wspomnienia...

Do tego zadania czuję wielki sentyment... Popijając soczek 10 minut przed końcem pierwszego dnia uznałem, że może warto jeszcze popróbować zrobić to drugie... A trzy minuty później pisałem jak szalony rozwiązanie. Bałem się, że odejmą za zapis, ale na szczęście 6 pkt :D w ogólności istnieje prostsze rozwiązanie niż wzorcowe- zapisujemy podzielności z treści jako ułamki całkowite i odejmujemy jeden od drugiego. Wynik też musi być całkowity, co w połączeniu ze względną pierwszością pewnych liczb dawało tezę.

Dodaj nową odpowiedź