L OM - I - Zadanie 1

Dowieść, że wśród liczb postaci $ 50^n + (50n + 1)^{50} $, gdzie $ n $ jest liczbą naturalną, występuje nieskończenie wiele liczb złożonych.

Rozwiązanie

I sposób:

Jeżeli $ n $ jest liczbą nieparzystą, to liczba $ 50^n $ przy dzieleniu przez $ 3 $ daje resztę $ 2 $. Jeśli ponadto $ n $ dzieli się przez $ 3 $, to $ (50n+1)^{50} $ przy dzieleniu przez $ 3 $ daje resztę $ 1 $. Stąd wynika, że liczba $ 50^n + (50n+1)^{50} $ jest podzielna przez $ 3 $ dla liczb $ n $ postaci $ 6k + 3 $.

II sposób:

Dla $ n $ podzielnych przez $ 5 $ liczba $ 50^n +(50n+1)^{50} $ jest sumą piątych potęg. Zatem liczba ta, na mocy tożsamości

\[<br />
x^5 + y^5 = (x + y)(x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4),<br />
\]

jest złożona.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź