L OM - I - Zadanie 3

W trójkącie równoramiennym $ ABC $ kąt $ BAC $ jest prosty. Punkt $ D $ leży na boku $ BC $, przy czym $ BD = 2\cdot CD $. Punkt $ E $ jest rzutem prostokątnym punktu $ B $ na prostą $ AD $. Wyznaczyć miarę kąta $ CED $.

Rozwiązanie

Uzupełnijmy trójkąt $ ABC $ do kwadratu $ ABFC $. Załóżmy, że prosta $ AD $ przecina bok $ CF $ w punkcie $ P $, zaś prosta $ BE $ przecina bok $ AC $ w punkcie $ Q $. Ponieważ

\[<br />
\frac{CP}{AB}=\frac{CD}{DB}=\frac{1}{2},<br />
\]

więc $ CP= \frac{1}{2} CF $. Wykorzystując prostopadłość prostych $ AP $ i $ BQ $ oraz powyższą równość dostajemy $ CQ= \frac{1}{2} AC $, i w konsekwencji $ CP=CQ $. Punkty $ C $, $ Q $, $ E $, $ P $ leżą na jednym okręgu, skąd $ \measuredangle CED =\measuredangle CEP =\measuredangle CQP = 45^\circ $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź