L OM - I - Zadanie 4

Dane są takie liczby rzeczywiste $ x $, $ y $, że liczby $ x + y $, $ x^2 + y^2 $, $ x^3 + y^3 $ i $ x^4 + y^4 $ są całkowite. Dowieść, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej $ n $ liczba $ x^n + y^n $ jest liczbą całkowitą.

Rozwiązanie

Ponieważ $ 2xy= (x + y)^2 - (x^2 + y^2) $ oraz $ 2x^2y^2 = (x^2 + y^2)^2 - (x^4 + y^4) $, więc liczby $ 2xy $ i $ 2x^2y^2 $ są całkowite. Gdyby przy tym liczba $ xy $ nie była całkowita, to $ 2xy $ byłaby nieparzysta. Ale wówczas liczba $ 2x^2y^2 = (2xy)^2/2 $ nie byłaby całkowita. Wniosek stąd, że liczba $ xy $ jest całkowita.

Całkowitość liczby $ x^n + y^n $ dowodzimy indukcyjnie korzystając z tożsamości $ x^n + y^n = (x^{n-1} +y^{n-1})(x + y)-xy(x^{n-2} +y^{n-2}) $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź