L OM - I - Zadanie 5

Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych dodatnich $ x $, $ y $ spełniające równanie $ y^x = x^{50} $.

Rozwiązanie

Dane równanie zapisujemy w postaci $ y = x^{50/x} $. Ponieważ dla każdego $ x $ będącego dzielnikiem $ 50 $ liczba po prawej stronie jest całkowita, otrzymujemy rozwiązania równania dla $ x \in \{1,2,5,10,25,50\} $. Inne rozwiązania tego równania otrzymamy tylko wtedy, gdy $ x \geq 2 $ oraz dla pewnego $ k \geq 2 $ liczba $ x $ jest jednocześnie $ k $-tą potęgą pewnej liczby naturalnej oraz dzielnikiem liczby $ 50k $. Jeśli $ p $ jest dzielnikiem pierwszym takiej liczby $ x $, to $ p^k|50^k $. Ponieważ $ p^k>k $, więc nie może być $ p^k|k $, skąd $ p\in\{2,5\} $. Jeżeli $ p= 2 $, to $ 2^k|2k $, skąd $ k = 2 $. Jeżeli zaś $ p=5 $, to $ 5^k|25k $, skąd znowu $ k = 2 $. Zatem $ x $ musi jednocześnie być kwadratem pewnej liczby naturalnej oraz dzielnikiem liczby $ 100 $.

Otrzymujemy dwie nowe wartości $ x $ w tym przypadku: $ x = 4 $ oraz $ x = 100 $. Zatem dane równanie ma 8 rozwiązań:

\[<br />
(1,1),\ (2,2^{25}),\ (4,2^{25}),\ (5,5^{10}),\ (10,10^5),\ (25,625),\ (50,50),\ (100,10).<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź