L OM - I - Zadanie 6

Przekątne $ AC $ i $ BD $ czworokąta wypukłego $ ABCD $ przecinają się w punkcie $ P $. Punkt $ M $ jest środkiem boku $ AB $. Prosta $ MP $ przecina bok $ CD $ w punkcie $ Q $. Dowieść, że stosunek pól trójkątów $ BCP $ i $ ADP $ jest równy stosunkowi długości odcinków $ CQ $ i $ DQ $.

Rozwiązanie

Przez $ [XYZ] $ będziemy oznaczać pole trójkąta $ XYZ $. Niech $ K $ będzie punktem przecięcia odcinków $ DP $ i $ AQ $, zaś niech $ L $ będzie punktem przecięcia odcinków $ CP $ i $ BQ $. Ponieważ punkt $ M $ jest środkiem odcinka $ AD $, więc (na mocy twierdzenia Cevy)

\[<br />
\frac{BL}{LQ}=\frac{AK}{KQ},\ \textrm{skąd}\ \frac{[BCP]}{[CQP]}=\frac{[ADP]}{[DQP]}.<br />
\]

Dostajemy zatem

\[<br />
\frac{[BCP]}{[ADP]}=\frac{[CQP]}{[DQP]}=\frac{CQ}{DQ}.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź