L OM - I - Zadanie 7

Dana jest liczba naturalna $ n \geq 2 $. Wyznaczyć wszystkie wielomiany $ P(x) = a_0 + a_1x + \ldots + a_nx^n $ mające dokładnie $ n $ pierwiastków nie większych niż $ -1 $ oraz spełniające warunek

\[<br />
a_0^2 + a_1a_n = a_n^2 + a_0a_{n-1} .<br />
\]

Uwaga: Pierwiastki są liczone z uwzględnieniem krotności: jeśli liczba $ x_0 $ jest pierwiastkiem $ k $-krotnym wielomianu $ P(x) $ (tzn. jeśli wielomian $ P(x) $ jest podzielny przez wielomian $ (x - x_0)^k $, ale nie przez $ (x - x_0)^{k+1} $), wówczas liczba $ x_0 $ jest traktowana jak $ k $ pierwiastków wielomianu $ P(x) $.

Rozwiązanie

Niech $ -p_1 \leq -p_2 \leq \ldots \leq -p_n $ będą pierwiastkami wielomianu spełniającego warunki zadania. Wówczas $ p_1 \geq  p_2 \geq \ldots \geq p_n \geq 1 $ oraz $ a_n \neq 0 $. Ponadto

\[<br />
a_{n-1} = a_n(p_1+p_2 + \ldots+p_n),\quad   a_1 = a_np_1p_2\ldots p_n\left(\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+\ldots+\frac{1}{p_n}\right),<br />
\]

oraz $ a_0 = a_np_1p_2\ldots p_n $. Warunek $ a_0^2 + a_1a_n = a_n^2 + a_0a_{n-1} $ można więc przepisać w postaci

\[<br />
\qquad p_1p_2\ldots p_n+\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+\ldots+\frac{1}{p_n} = \frac{1}{p_1p_2\ldots p_n}+p_1+p_2+\ldots+ p_n.<br />
\]

Udowodnimy indukcyjnie, że dla $ n \geq 2 $ oraz dla dowolnych liczb rzeczywistych $ p_1 \geq  p_2 \geq \ldots \geq p_n \geq 1 $ zachodzi nierówność

\[<br />
(1) \qquad p_1p_2\ldots p_n+\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+\ldots+\frac{1}{p_n} \geq \frac{1}{p_1p_2\ldots p_n}+p_1+p_2+\ldots+ p_n<br />
\]

oraz, że

(2)      równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $ p_2=p_3 = \ldots =p_n = 1. $

Dla $ n = 2 $ nierówność (1) przybiera postać

\[<br />
p_1p_2+\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}\geq \frac{1}{p_1p_2}+p_1+p_2.<br />
\]

Jest ona równoważna nierówności

\[<br />
p_1^2p_2^2-p_1^2p_2-p_1p_2^2+p_1p_2\geq p_1p_2-p_1-p_2+1,<br />
\]

czyli $ p_1p_2(p_1 - 1)(p_2 - 1) \geq (p_1 - 1)(p_2 - 1) $, co przy założeniu $ p_1 \geq p_2 \geq 1 $ jest spełnione. Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $ p_2 - 1 = 0 $.

Załóżmy teraz prawdziwość nierówności (1) oraz stwierdzenia (2) dla pewnego $ n \geq 2 $. Niech ponadto dane będą liczby $ p_1 \geq  p_2 \geq \ldots \geq p_{n} \geq p_{n+1} \geq 1 $. Wówczas $ p_1 p_2 \geq p_3 \geq \ldots \geq p_{n+1} \geq 1 $, skąd na mocy założenia indukcyjnego

\[<br />
(4)\begin{split}<br />
(p_1p_2)p_3\ldots p_n p_{n+1}+\frac{1}{p_1p_2}+\frac{1}{p_3}+\ldots+\frac{1}{p_n}+\frac{1}{p_{n+1}} \geq\\<br />
\qquad \geq \frac{1}{(p_1p_2)p_3\ldots p_n p_{n+1}}+p_1p_2+p_3+\ldots+ p_n +p_{n+1}<br />
\end{split}<br />
\]

oraz równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $ p_3= \ldots=p_n=p_{n+1} = 1 $. Dodanie nierówności (3) i (4) stronami daje

\[<br />
\begin{split}<br />
p_1p_2p_3\ldots p_n p_{n+1} +\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+\frac{1}{p_3}+\ldots+\frac{1}{p_n}+\frac{1}{p_{n+1}} \geq\\<br />
\qquad \geq \frac{1}{p_1p_2p_3\ldots p_n p_{n+1}}+p_1+p_2+p_3+\ldots+ p_n +p_{n+1}.<br />
\end{split}<br />
\]

Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $ p_2 =p_3= \ldots=p_n=p_{n+1} = 1 $.

Ze stwierdzenia (2) wynika zatem, że wielomiany spełniające warunki zadania mają postać $ P(x) = a(x+1)^{n-1}(x + b) $, gdzie $ a $ jest dowolną niezerową liczbą rzeczywistą, zaś $ b\geq 1 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź