L OM - I - Zadanie 9

Punkty $ D $, $ E $, $ F $ leżą odpowiednio na bokach $ BC $, $ CA $, $ AB $ trójkąta $ ABC $. Okręgi wpisane w trójkąty $ AEF $, $ BFD $, $ CDE $ są styczne do okręgu wpisanego w trójkąt $ DEF $. Udowodnić, że proste $ AD $, $ BE $, $ CF $ przecinają się w jednym punkcie.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $ c_1 $ okrąg wpisany w trójkąt $ DEF $, zaś przez $ c_2 $ okrąg wpisany w trójkąt $ ABC $. Ponieważ okręgi wpisane w trójkąty $ AEF $ i $ DEF $ są styczne, więc $ AF + DE = AE + DF $. To oznacza, że w czworokąt $ AEDF $ można wpisać okrąg; oznaczmy ten okrąg przez $ c_A $. Punkt $ D $ jest środkiem jednokładności $ j_1 $, o skali dodatniej, przekształcającej okrąg $ c_1 $ na $ c_A $, punkt $ A $ jest środkiem jednokładności $ j_2 $, o skali dodatniej, przekształcającej okrąg $ c_A $ na $ c_2 $. Zatem jednokładność $ j $, o skali dodatniej, przekształcająca okrąg $ c_1 $ na $ c_2 $ jest złożeniem jednokładności $ j_1 $ i $ j_2 $ — jej środek leży więc na prostej $ AD $. Analogicznie dowodzimy, że środek jednokładności $ j $ leży na prostych $ BE $ i $ CF $.

Wniosek: proste $ AD $, $ BE $, $ CF $ mają punkt wspólny, będący środkiem jednokładności okręgów $ c_1 $ i $ c_2 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź