L OM - I - Zadanie 10

Dana jest liczba $ x_1 > 0 $. Ciag $ (x_n) $ jest zdefiniowany wzorem:

\[<br />
x_{n+1} = x_n +\frac{1}{x_n^2}\quad \textrm{dla}\ n = 1, 2, 3,\ldots .<br />
\]

Udowodnić, że istnieje granica $ \lim_{n\to \infty} \frac{x_n}{\sqrt[3]{n}} $ i obliczyć ją.

Rozwiązanie

W rozwiązaniu skorzystamy z następującego twierdzenia:

Jeżeli ciąg $ (a_n) $ jest zbieżny do granicy $ g $, to ciąg $ (b_n) $, określony wzorem

\[<br />
b_n=\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n},<br />
\]

jest również zbieżny i jego granica wynosi $ g $.

Podstawmy $ y_n = x_n^3 $. Wtedy

\[<br />
y_{n+1}=y_n\left(1+\frac{1}{y_n}\right)^3=y_n+3+\frac{3}{y_n}+\frac{1}{y_n^2}.<br />
\]

Skoro $ y_{n+1} > y_n + 3 $, to ciąg $ (y_n) $ jest rozbieżny do nieskończoności. Zatem na mocy powyższej równości $ (y_{n+1} - y_n) \rightarrow 3 $. Z ostatniej zbieżności oraz z zacytowanego wyżej twierdzenia dostajemy $ \frac{y_n}{n}\rightarrow 3 $, skąd $ \lim_{n\to\infty} \frac{x_n}{\sqrt[3]{n}}=\sqrt[3]{3} $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź