LX OM - II - Zadanie 3

Rozłączne okręgi $ o_1 $ i $ o_2 $ o środkach odpowiednio $ I_1 $ i $ I_2 $ są styczne do prostej
$ k $ odpowiednio w punktach $ A_1 $ i $ A_2 $ oraz leżą po tej samej jej stronie. Punkt $ C $ leży na odcinku
$ I_1I_2 $, przy czym $ \meqsuredangle A_1CA_2 =90^{\circ} $. Dla $ i=1,2 $ niech $ B_i $ będzie punktem różnym od
$ A_i $, w którym prosta $ A_iC $ przecina okrąg $ o_i $. Dowieść, że prosta $ B_1B_2 $ jest styczna do okręgów
$ o_1 $ i $ o_2 $.

Rozwiązanie

Niech prosta styczna do okręgu $ o_1 $ w punkcie $ B_1 $ przecina prostą $ A_1A_2 $ w punkcie $ D $.
(Punkt przecięcia istnieje, gdyż punkt $ C $ nie leży na prostej $ A_1I_1 $, a więc odcinek $ A_1B_1 $
nie jest średnicą okręgu $ o_1 $.) Trójkąt $ A_1B_1D $ jest wówczas równoramienny, gdyż dwa jego boki
są odcinkami stycznych do okręgu $ o_1 $ poprowadzonymi z punktu $ D $. Wobec tego prosta
$ DI_1 $ jako dwusieczna kąta $ \measuredangle A_1DB_1 $ jest prostopadła do cięciwy $ A_1B_1 $,
a więc równoległa do prostej $ CA_2 $.

Udowodnimy, że proste $ A_1B_1 $ i $ DI_2 $ są równoległe.

Jeżeli $ A_1A_2 || I_1I_2 $, to $ A_1A_2 = I_1I_2 $ i czworokąt $ I_1CA_2D $ jest równoległobokiem.
W takim razie $ CI_2 = A_1D $ i czworokąt $ CI_2DA_1 $ także jest równoległobokiem. W szczególności
więc $ A_1B_1 || DI_2 $.

Jeżeli natomiast proste $ A_1A_2 $ i $ I_1I_2 $ przecinają się w punkcie $ E $, to stosując dwukrotnie
twierdzenie Talesa do kąta $ \measuredangle A_1EI_1 $ przeciętego prostymi równoległymi $ I_1D $, $ CA_2 $
oraz $ I_1A_1 $, $ I_2A_2 $ otrzymujemy

\[<br />
\frac{EC}{EI_2}= \frac{EC}{EI_1}\cdot \frac{EI_1}{EI_2} = \frac{EA_2}{ED} \cdot \frac{EA_1}{EA_2}<br />
= \frac{EA_1}{ED}<br />
\]

co w połączeniu z twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia Talesa znowu daje zależność $ A_1B_1 || DI_2 $.

Wykazana właśnie równoległość wraz z danym w treści zadania warunkiem $ \measuredangle A_1CA_2 = 90^{\circ} $
pozwala wnioskować, że proste $ DI_2 $ i $ B_2A_2 $ są prostopadłe. Zauważmy teraz, że prosta $ DI_2 $ przechodzi
przez środek okręgu $ o_2 $. W efekcie punkty $ B_2 $ i $ A_2 $ są symetryczne względem prostej $ DI_2 $
(gdyż są końcami cięciwy prostopadłej do tej prostej) oraz proste $ DB_2 $ i $ DA_2 $ są symetryczne
względem tej prostej. Skoro zaś prosta $ DA_2 $ jest styczna do okręgu $ o_2 $, to również prosta $ DB_2 $
jest doń styczna, co kończy rozwiązanie zadania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź