L OM - I - Zadanie 11

W urnie znajdują się dwie kule: biała i czarna. Ponadto mamy do dyspozycji $ 50 $ kul białych i $ 50 $ czarnych. Wykonujemy $ 50 $ razy następującą czynność: losujemy z urny kulę, a następnie wrzucamy ją z powrotem do urny oraz dokładamy jedną kulę tego samego koloru, co wylosowana kula. Po zakończeniu tych czynności mamy więc w urnie $ 52 $ kule. Jaka liczba kul białych znajdujących się w urnie jest najbardziej prawdopodobna?

Rozwiązanie

Niech $ P(k,n) $, gdzie $ 1 \leq k\leq n-1 $, oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia, że gdy w urnie jest $ n $ kul, to dokładnie $ k $ z nich ma kolor biały. Wówczas

\[<br />
P(1,2) = 1\quad \textrm{oraz}\quad P(k,n+1) = \frac{n-k}{n} P(k,n)+ \frac{k-1}{n} P(k - 1,n).<br />
\]

Korzystając z powyższych związków dowodzimy indukcyjnie (ze względu na $ n $), że $ P(k,n) = 1/(n-1) $ dla $ k = 1,2,\ldots,n-1 $. W szczególności

\[<br />
P(k,52) = \frac{1}{51}\  \textrm{dla}\ k=1,2,\ldots,51.<br />
\]

Zatem każda możliwa liczba kul białych po $ 50 $ losowaniach (od $ 1 $ do $ 51 $) jest jednakowo prawdopodobna.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź