L OM - I - Zadanie 12

Wszystkie wierzchołki sześcianu o krawędzi $ a $ leżą na powierzchni czworościanu foremnego o krawędzi 1. Wyznaczyć możliwe wartości $ a $.

Rozwiązanie

Z warunków zadania wynika, że dany sześcian $ ABCDA'B'C'D' $ leży wewnątrz danego czworościanu $ KLMN $. Możliwe są dwa przypadki:

  1. Istnieje ściana czworościanu $ KLMN $ (na przykład $ KLM $), na której leżą co najmniej trzy wierzchołki sześcianu;
  2. Na każdej ścianie czworościanu $ KLMN $ leżą dokładnie dwa wierzchołki sześcianu.

Rozważmy najpierw przypadek (a). Trzy wierzchołki sześcianu, które leżą na ścianie $ KLM $, muszą być wierzchołkami jednej ściany tego sześcianu. To oznacza, że pewna ściana sześcianu, powiedzmy $ ABCD $, leży wewnątrz trójkąta $ KLM $; pozostałe cztery wierzchołki $ A' $, $ B' $, $ C' $, $ D' $ znajdują się na ścianach $ KLN $, $ LMN $, $ MKN $. Bez straty ogólności możemy przyjąć, że ściana $ KLN $ zawiera któreś dwa spośród punktów $ A' $, $ B' $, $ C' $, $ D' $. Muszą one być dwoma kolejnymi wierzchołkami kwadratu $ A'B'C'D' $. Nie tracąc ogólności rozważań, możemy przyjąć, że punkty $ A' $, $ B' $ leżą na ścianie $ KLN $, punkt $ C' $ leży na ścianie $ LMN $, zaś punkt $ D' $ znajduje się na ścianie $ MKN $.

Warunek (a) wyznacza więc jednoznacznie (z dokładnością do przyjętych oznaczeń) położenie danego sześcianu wewnątrz czworościanu foremnego o krawędzi $ 1 $. Przystępujemy do wyznaczenia długości krawędzi $ a $.

Oznaczmy przez $ K' $, $ L' $, $ M' $, odpowiednio punkty przecięcia krawędzi $ KN $, $ LN $, $ MN $ z płaszczyzną $ A'B'C'D' $. Czworościan $ K'L'M'N $ jest foremny. Oznaczmy jego krawędź przez $ b $. Wtedy $ K'A' = B'L' = \frac{\sqrt{3}}{3}a $, skąd

\[<br />
(1) \qquad b = a+\frac{2\sqrt{3}}{3}a.<br />
\]

Wysokość czworościanu foremnego o krawędzi $ \lambda $ wyraża się wzorem $ h = \frac{\sqrt{6}}{3}\lambda $. Porównując wysokości czworościanów $ KLMN $ oraz $ K'L'M'N $ otrzymujemy równość $ \frac{\sqrt{6}}{3}b + a =\frac{\sqrt{6}}{3} $, skąd wykorzystując równość (1) mamy

\[<br />
a=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}+2\sqrt{2}+3}.<br />
\]

Pozostał do rozpatrzenia przypadek (b).

Każdy z czterech odcinków łączących wierzchołki danego sześcianu, leżące na tej samej ścianie czworościanu $ KLMN $, jest krawędzią tego sześcianu. Odcinki te nie mają wspólnych końców. Przypuśćmy, że krawędź $ AB $ leży na ścianie $ KLM $. Wówczas jedna z krawędzi $ A'B' $ lub $ CD $ leży na jednej ze ścian $ KLN $, $ LMN $, $ MKN $. Bez straty ogólności przyjmijmy, że $ A'B' $ leży na $ KLN $. Wtedy proste $ AB $ i $ A'B' $ są równoległe do krawędzi $ KL $, a co za tym idzie, proste $ CD $ i $ C'D' $, są prostopadłe do krawędzi $ MN $; nie mogą więc one leżeć na ścianach $ LMN $ i $ KMN $. Możemy zatem założyć, że odcinek $ CC' $ leży na ścianie $ LMN $, zaś odcinek $ DD' $ znajduje się na ścianie $ KMN $.

Oznaczmy przez $ X $, $ Y $, $ Z $, $ T $ odpowiednio środki krawędzi $ KN $, $ NL $, $ LM $, $ MK $. Wówczas kwadraty $ A'B'BA $ oraz $ D'C'CD $ mają boki równoległe odpowiednio do boków kwadratu $ XYZT $. Stąd istnieje (w przestrzeni) środek jednokładności $ P $ kwadratów $ A'B'BA $ i $ XYZT $, leżący na krawędzi $ KL $ oraz środek jednokładności $ Q $ kwadratów $ D'C'CD $ i $ XYZT $, leżący na krawędzi $ MN $. Skale jednokładności w obu przypadkach są równe i wynoszą $ 2a $. Odległości od punktów $ P $ i $ Q $ do płaszczyzny $ XYZT $ są równe i wynoszą $ \sqrt{2}/4 $. Stąd wynika, że odległości od płaszczyzn $ A'B'BA $ i $ D'C'CD $ do płaszczyzny $ XYZT $ są równe — a więc każda z nich wynosi $ a/2 $. Te trzy wielkości są związane ze sobą zależnością

\[<br />
1-2a=\frac{a/2}{\sqrt{2}/4},\ \textrm{skąd otrzymujemy}\ a=\frac{1}{2+\sqrt{2}}.<br />
\]

Pozostaje zauważyć, że powyższą wartość można zrealizować biorąc za $ P $ i $ Q $ środki krawędzi $ KL $ i $ MN $.

Reasumując: możliwe wartości $ a $ wynoszą

\[<br />
\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}+2\sqrt{2}+3}\quad \textrm{oraz}\quad \frac{1}{2+\sqrt{2}}.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź