L OM - II - Zadanie 1

Dana jest funkcja $ f: \langle 0,1 \rangle \to \mathbb{R} $ taka, że $ f(\frac{1}{n}) = (-1)^n $ dla $ n = 1, 2,\ldots $. Wykazać, że nie istnieją takie funkcje rosnące $ g: \langle 0,1 \rangle \to \mathbb{R} $, $ h: \langle 0,1 \rangle \to \mathbb{R} $, że $ f = g - h $.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że istnieją funkcje $ g $ i $ h $ spełniające warunki zadania. Ponieważ funkcje te są rosnące, więc dla każdego $ k \in \mathbb{N} $ mamy

\[<br />
\begin{split}<br />
g\left(\frac{1}{2k+1}\right)&=f\left(\frac{1}{2k+1}\right)+h\left(\frac{1}{2k+1}\right)=\\<br />
&=-1+h\left(\frac{1}{2k+1}\right)< - 1 +h\left(\frac{1}{2k}\right)=1+h\left(\frac{1}{2k}\right)-2=\\<br />
&=f\left(\frac{1}{2k}\right)+h\left(\frac{1}{2k}\right)-2=g\left(\frac{1}{2k}\right)-2< g\left(\frac{1}{2k-1}\right)-2.<br />
\end{split}<br />
\]

Z monotoniczności funkcji $ g $ oraz powyższych nierówności dostajemy

\[<br />
\begin{split}<br />
g(0) < g\left(\frac{1}{2k+1}\right) < & g\left(\frac{1}{2k-1}\right)-2 < g\left(\frac{1}{2k-3}\right)-4 < \ldots < \\<br />
& < g\left(\frac{1}{3}\right)-2(k-1) < g(1)-2k.<br />
\end{split}<br />
\]

Zatem $ g(1)-g(0) > 2k $ dla dowolnego $ k\in \mathbb{N} $, co nie jest możliwe.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź