L OM - II - Zadanie 2

Sześcian $ S $ o krawędzi $ 2 $ jest zbudowany z ośmiu sześcianów jednostkowych. Klockiem nazwiemy bryłę otrzymaną przez usunięcie z sześcianu $ S $ jednego spośród ośmiu sześcianów jednostkowych. Sześcian $ T $ o krawędzi $ 2^n $ jest zbudowany z $ (2^n)^3 $ sześcianów jednostkowych. Udowodnić, że po usunięciu z sześcianu $ T $ dowolnego spośród $ (2^n)^3 $ sześcianów jednostkowych powstaje bryła, którą daje się szczelnie wypełnić klockami.

Rozwiązanie

Przeprowadzimy dowód indukcyjny. Dla $ n = 1 $ teza zadania jest oczywiście prawdziwa. Załóżmy więc, że teza jest prawdziwa dla pewnego $ n $ i rozważmy sześcian $ C $ o krawędzi $ 2^{n+1} $ z wyróżnionym sześcianem jednostkowym $ D $. Sześcian $ C $ dzielimy na osiem przystających sześcianów $ C_1,C_2,\ldots,C_8 $, każdy o krawędzi $ 2^n $. W jednym z nich (przyjmijmy, że w $ C_8 $) znajduje się sześcian jednostkowy $ D $. Połóżmy klocek w samym środku sześcianu $ C $ tak, aby jego część wspólna z każdym z sześcianów $ C_1,C_2,\ldots,C_7 $ była sześcianem jednostkowym. Wówczas pozostanie nam do wypełnienia klockami osiem sześcianów $ C_1,C_2,\ldots,C_8 $, każdy z usuniętym sześcianem jednostkowym. To zaś, na mocy założenia indukcyjnego, jest wykonalne. Dowód indukcyjny jest więc zakończony.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź