L OM - II - Zadanie 3

Czworokąt wypukły $ ABCD $ jest wpisany w okrąg. Punkty $ E $ i $ F $ leżą odpowiednio na bokach $ AB $ i $ CD $, przy czym $ AE: EB = CF: FD $. Punkt $ P $ leży na odcinku $ EF $ i spełnia warunek $ EP: PF = AB: CD $. Udowodnić, że stosunek pól trójkątów $ APD $ i $ BPC $ nie zależy od wyboru punktów $ E $ i $ F $.

Rozwiązanie

Załóżmy najpierw, że proste $ AD $ i $ BC $ nie są równoległe i przecinają się w punkcie $ S $. Wówczas trójkąty $ ASB $ i $ CSD $ są podobne. Ponieważ $ AE : EB = CF : FD $, więc podobne są również trójkąty $ ASE $ i $ CSF $. Stąd $ \measuredangle DSE = \measuredangle CSF $. Ponadto

\[<br />
\frac{SE}{SF}=\frac{SA}{SC}=\frac{AB}{CD}=\frac{PE}{PF},<br />
\]

skąd dostajemy $ \measuredangle ESP = \measuredangle FSP $. Zatem punkt $ P $ jest równoodległy od prostych $ AD $ i $ BC $. Stosunek pól trójkątów $ APD $ i $ BPC $ jest więc równy stosunkowi długości odcinków $ AD $ i $ BC $, czyli nie zależy od wyboru punktów $ E $ i $ F $.

Załóżmy teraz, że proste $ AD $ i $ BC $ są równoległe. Wtedy $ ABCD $ jest trapezem równoramiennym, gdzie $ AB = CD $. Punkt $ P $ jest środkiem odcinka $ EF $ oraz $ BE = DF $. Punkty $ E $ i $ F $ są więc jednakowo odległe odpowiednio od prostych $ BC $ i $ AD $. Ponadto punkt $ P $ jest równoodległy od prostych przechodzących przez punkty $ E $, $ F $ i równoległych do podstaw trapezu $ ABCD $. Zatem również w tym przypadku odległości od punktu $ P $ do prostych $ AD $ i $ BC $ są jednakowe. Powtarzając końcówkę rozumowania z poprzedniego przypadku dostajemy tezę.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź