L OM - II - Zadanie 4

Punkt $ P $ leży wewnątrz trójkąta $ ABC $ i spełnia warunki: $ \measuredangle PAB = \measuredangle PCA $ oraz $ \measuredangle PAC = \measuredangle PBA $. Punkt $ O $ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ ABC $. Dowieść, że jeżeli $ O \ne P $, to kąt $ APO $ jest prosty.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $ K $, $ L $, $ M $ odpowiednio punkty przecięcia prostych $ AP $, $ BP $, $ CP $ z okręgiem opisanym na trójkącie $ ABC $. Na mocy równości $ \measuredangle BAK = \measuredangle ACM $ długości łuków $ BK $ i $ AM $ są równe. Analogicznie, długości łuków $ KC $ i $ LA $ są równe. Odcinki $ LC $, $ AK $, $ MB $ są więc równoległe oraz mają wspólną symetralną, przechodzącą przez punkt $ O $. Na tej symetralnej leży również punkt $ P $, jako punkt przecięcia przekątnych $ MC $ i $ BL $ trapezu równoramiennego $ MBCL $. Zatem w szczególności $ \measuredangle APO = 90^\circ $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź